Question

已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.
(1)求数列{b_n}的通项b_n；
(2)设数列{a_n}的通项a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1),记S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与log_ab_n+1的大小，并证明你的结论.

Answer 1

(1) b_n=3n－2 (2) 当a＞1时，S_n＞log_ab_n+1；当0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n+1

(1)设数列{b_n}的公差为d，由题意得 
解得b₁=1,d=3,∴b_n=3n－2.
(2)由b_n=3n－2,知S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)
=log_a［(1+1)(1+)…(1+)］，log_ab_n+1=log_a.
因此要比较S_n与log_ab_n+1的大小，
可先比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小，
取n=1时，有(1+1)＞
取n=2时，有(1+1)(1+)＞…
由此推测(1+1)(1+)…(1+)＞    ①
若①式成立，则由对数函数性质可判定:
当a＞1时，S_n＞log_ab_n+1，                                ②
当0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n+1，                          ③
下面用数学归纳法证明①式.
(ⅰ)当n=1时，已验证①式成立.
(ⅱ)假设当n=k时(k≥1），①式成立，即:
 那么当n=k+1时，


 
这就是说①式当n=k+1时也成立.
由(ⅰ）(ⅱ）可知①式对任何正整数n都成立.
由此证得:当a＞1时，S_n＞log_ab_n+1；当0＜a＜1时，S_n＜log_ab_n+1