Question

设数列的前项和为，已知，且
，
其中为常数.
(Ⅰ)求与的值；
(Ⅱ)证明：数列为等差数列；
(Ⅲ)证明：不等式对任何正整数都成立.

Answer 1

，.

解：（Ⅰ）由已知，得，，.
由，知
   即
解得   ，.
（Ⅱ）方法1
由（Ⅰ），得 ，            ①
所以        .          ②
②-①，得   ，   ③
所以        .  ④
④-③，得   .
因为        ，
所以        .
又因为      ，
所以        ，
即          ，.
所以数列为等差数列.
方法2
由已知，得，
又，且，
所以数列是唯一确定的，因而数列是唯一确定的.
设，则数列为等差数列，前项和.
于是  ，
由唯一性得  ，即数列为等差数列.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，.
要证      ，
只要证    .
因为      ，，
故只要证  ，
即只要证  .
因为      

，
所以命题得证.