Question

已知函数f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c．
（1）若f（x）在（-∞，+∞）是增函数，求b的取值范围；
（2）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求 c的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²-x+b，∵f（x）在（-∞，+∞）是增函数，
∴f′（x）≥0恒成立，∴△=1-12b≤0，解得b≥

1

12

．
∵x∈（-∞，+∞）时，只有b=

1

12

时，f′（

1

6

）=0，∴b的取值范围为[

1

12

，+∞]．
（2）由题意，x=1是方程3x²-x+b=0的一个根，设另一根为x₀，
则

x0+1= 1 3 x0×1= b 3

∴

x0=- 2 3 b=-2

∴f′（x）=3x²-x-2，
列表分析最值：

x	-1	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1 2 +c	递增	极大值 22 27 +c	递减	极小值- 3 2 +c	递增	2+c

∴当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c，
∵对x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，∴c²＞2+c，解得c＜-1或c＞2，
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）