Question

18．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥B₁D，BB₁⊥底面ABCD，E为线段AD上的任意一点（不包括A、D两点），平面CEC₁与平面BB₁D交于FG．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）证明：FG∥平面AA₁B₁B．

Answer 1

分析 （1）先证出BB₁⊥AC，AC⊥B₁D，即可证明AC⊥平面BB₁D，从而证出AC⊥BD；
（2）先证明CC₁∥平面BB₁D，得出CC₁∥FG，从而得出FG∥BB₁，再证出FG∥平面AA₁B₁B．

解答 解：（1）证明：四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵BB₁⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BB₁⊥AC；
又AC⊥B₁D，
BB₁∩B₁D=B₁，
∴BB₁?平面BB₁D，B₁D?平面BB₁D，
∴AC⊥平面BB₁D；
又BD?平面BB₁D，
∴AC⊥BD；
（2）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁∥BB₁，
CC₁?平面BB₁D，BB₁?平面BB₁D，
∴CC₁∥平面BB₁D；
又平面CEC₁∩平面BB₁D=FG，
∴CC₁∥FG，
∴FG∥BB₁；
又FG?平面ABB₁A₁，BB₁?平面ABB₁A₁，
∴FG∥平面AA₁B₁B．

点评 本题主要考查了空间中的直线与平面垂直、直线与平面平行的判定和性质的应用问题，也考查了空间想象能力和推理论证能力，是中档题．