Question

【题目】已知函数，．

（1）当时，求在上的最大值和最小值：

（2）若，恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）最大值是，最小值为0．（2）

【解析】

（1）记的导函数的导数为，分析可得，结合，可得在R上是增函数，再，可得在上是增函数，即得解；

（2）分，，三种情况分析的单调性，继而分析的最小值，即得解.

（1）为表述简单起见，记的导函数的导数为．

当时，，则．

，所以在R上是增函数．

又，所以当时，，

所以在上是增函数．

故在上的最大值是，最小值为．

（2），．

①若，即时，，

所以在R上是增函数．

又，所以当时，，

所以在上是增函数．

所以当时，．可见，当，．

又是偶函数，所以恒成立．

所以符合题意．

②若，即时，，

所以在R上是减函数．

所以当时，，所以在上是减函数．

所以当时，．

这与恒成立矛盾，所以不符合题意．

③当时，．

由，得．

由的图象，知存在唯一的，使得．

当时，．

所以在上是减函数．

所以当时，，所以在上是减函数．

所以当时，．

这与恒成立矛盾，所以不符合题意．

综上，a的取值范围是．