Question

【题目】（1）在圆中有这样的结论：对圆上任意一点，设、是圆和轴的两交点，且直线和的斜率都存在，则它们的斜率之积为定值-1.试将该结论类比到椭圆，并给出证明.

（2）已知椭圆，，，设直线与椭圆交于不同于、的两点、，记直线、、的斜率分别为、、.

（ⅰ）若直线过定点，则是否为定值.若是，请证明；若不是，请说明理由.

（ⅱ）若，求所有整数，使得直线变化时，总有.

Answer 1

【答案】（1）对椭圆上任意一点，设、是椭圆和轴的两交点，且直线和的斜率都存在，则它们的斜率之积为定值；证明见解析（2）（ⅰ）是定值；证明见解析（ⅱ），，，

【解析】

（1）利用类比推理得：设、是椭圆和轴的两交点，为椭圆上任一点，且直线和的斜率都存在，则它们的斜率之积为定值，若设，，，然后利用斜率公式可证出结论；

（2）由于， 恰好是椭圆与轴的交点，、是椭圆上任意两点，所以在此题的求解中利用一元二次方程的根与系数的关系，再结合（1）中得到的结论可得答案.

（1）对椭圆上任意一点，设、是椭圆和轴的两交点，且直线和的斜率都存在，则它们的斜率之积为定值，

证明：设，其中，，，

则，

（2）（ⅰ），设，，

联立直线与椭圆方程，得，则（*）

将（*）代入，得为定值.

（ⅱ）当时，直线过定点，其中，

联立直线与椭圆方程，得，由，可得或，

由（1）得，从而，

，

符合题意的整数为，，，.