Question

过抛物线x²=4y上两个不同的点A、B分别作抛物线的切线相交于点P，并且满足.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）知点F(0,1)，是否存在常数λ使得？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）设A(x₁,),B(x₂,)(x₁≠x₂),由x²=4y得y=，

∴y′=，∴k_PA=,k_PB=,

∵，

∴PA⊥PB，

∴k_PA·k_PB=-1得x₁x₂=-4,

直线PA的方程是y-= (x-x₁)即y=x-.①

直线PB的方程是y-=(x-x₂)即y=x-.②

由①②解得x=x₁+，(x₁,x₂∈R).

因此，所求点P的轨迹方程是y=-1.

（2）由（1）得=(x₁,-1), =(x₂,-1),=(,-2),

∵x₁x₂=-4,

∴-2--,=++2.

∴+=0，即，存在λ=1使得+λ=0成立.