Question

（2012•道里区二模）过抛物线x²=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点P（x₀，y₀），

PA

•

PB

=0．
（1）求y₀；
（2）求证：直线AB恒过定点；
（3）设（2）中直线AB恒过定点F，是否存在实数λ，使

FA

•

FB

+λ(

FP

)2=0恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设A，B的坐标，求得直线PA、PB的方程，利用

PA

•

PB

=0，可得y₀；
（2）求出直线AB的方程，令x=0，结合（1）的结论，即可证得直线AB恒过定点；
（3）利用坐标表示向量，结合数量积公式，即可得到结论．

解答：（1）解：设A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，（x₁≠x₂）．
由x²=4y，得：y′=

x

2

，∴kPA=

x1

2

，kPB=

x2

2

∵

PA

•

PB

=0，∴PA⊥PB，∴x₁x₂=-4．
直线PA的方程是：y-

x 2 1

4

=

x1

2

(x-x1)，即y=

x1x

2

-

x 2 1

4

．①
同理，直线PB的方程是：y=

x2x

2

-

x 2 2

4

．②
由①②得：y0=

x1x2

4

=-1，（x₁，x₂∈R）．…（4分）
（2）证明：由（1）可得直线AB的方程为y-

x 2 1

4

=

x 2 2 4 - x 2 1 4

x2-x1

(x-x1)
令x=0，可得y-

x 2 1

4

=

x2+x1

4

•(-x1)，
∵

x1x2

4

=-1，∴y=1
∴直线AB恒过点（0，1）…（8分）
（3）解：由（1）得：

FA

=(x1，

x 2 1

4

-1)，

FB

=(x2，

x 2 2

4

-1)，x₁x₂=-4，
∴

FA

•

FB

=x1x2+(

x 2 1

4

-1)(

x 2 2

4

-1)=-2-

x 2 1 + x 2 2

4

∵P=(

x1+x2

2

，-1)，∴

FP

=(

x1+x2

2

，-2)，
∴(

FP

)2=

(x1+x2)2

4

+4=

x 2 1 + x 2 2

4

+2，
∴

FA

•

FB

+(

FP

)2=0．
故存在λ=1使得

FA

•

FB

+λ(

FP

)2=0．…（12分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线恒过定点，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．