Question

如图，已知平行四边形ABCD中，AB=3，BC=2，∠BAD=60°，E为BC边上的中点，F为平行四边形内（包括边界）一动点，则

AE

•

AF

的最大值为

31

2

．

Answer 1

分析：先以点A位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出

AE

•

AF

，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．

解答：解：以点A位坐标原点建立如图所示的直角坐标系
设点A（0，0），则B（3，0），C（4，

3

），D（1，

3

），E（

7

2

，

3

2

），
设F（x，y），F为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形ABCD
因为

AE

=（

7

2

，

3

2

），

AF

=（x，y）．
所以

AE

•

AF

=

7

2

x+

3

2

y．
借助于图象得当

7

2

x+

3

2

y过点C（4，

3

）时取最大值，最大值为

7

2

x+

3

2

y=14+

3

2

=

31

2

．
故答案为：

31

2

．

点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题．