Question

如图，已知平行四边形ABCD中，AD=2，CD=

2

，∠ADC=45°，AE⊥BC，垂足为E，沿直线AE将△BAE翻折成△B′AE，使得平面B′AE⊥平面AECD．连接B′D，P是B′D上的点．
（Ⅰ）当B′P=PD时，求证：CP⊥平面AB′D；
（Ⅱ）当B′P=2PD时，求二面角P-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由已知，得出E′E⊥EC，建立空间直角坐标系．通过

AB′

•

CP

=0，

AD

•

CP

=0得出CP⊥AB′，CP⊥AD，证出CP⊥平面AB′D；
 （Ⅱ）设P（x，y，z），则

B′P

=（x，y，z-1），

PD

=（2-x，1-y，-z），由

B′P

=2

PD

得出P（ 

4

3

，

2

3

，

1

3

），分别求出面PAC 的法向量，平面DAC的法向量，利用向量的夹角求出二面角P-AC-D 的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵AE⊥BC，平面B′AE⊥平面AECD，∴B′E⊥EC．
如图建立空间直角坐标系，…（2分）
则A（0，1，0），B′（0，0，1），C（1，0，0），
D（2，1，0），E（0，0，0），P（1，

1

2

，

1

2

）．

AB′

=（0，-1，1），

AD

=（2，0，0），

CP

=（0，

1

2

，

1

2

）．   …（4分）
∵

AB′

•

CP

=0，∴CP⊥AB′

AD

•

CP

=0，∴CP⊥AD
又AB′∩AD=A，
∴CP⊥平面AB′D；     …（7分）
（Ⅱ）设P（x，y，z），则

B′P

=（x，y，z-1），

PD

=（2-x，1-y，-z），
由

B′P

=2

PD

得

x=4-2x y=2-2y z-1=-2z

解得x=

4

3

y=

2

3

，z=

1

3

，
∴P（ 

4

3

，

2

3

，

1

3

）

AP

=（ 

4

3

，-

1

3

，

1

3

），

AC

=（1，-1，0）…（10分）
 设面PAC 的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • AP =  4x 3 - y 3 + z 3 =0  n • AC =x-y=0

．
取x=y=1，z=-3．，则

n

=（1，1，-3），…（12分）
又平面DAC的法向量为

m

=（0，0，1），
设二面角P-AC-D的大小为θ，则cosθ=

m • n

| m || n |

=

3

11

=

3 11

11

．    …（14分）

点评：本题考查空间直线和平面垂直的判定，二面角大小求解．考查空间想象、推理论证能力．利用空间向量的方法，能降低思维难度，思路相对固定，是人们研究解决几何体问题又一有力工具．