Question

命题p：一元二次方程mx²-（1-m）x+m=0有两个正实根；命题q：关于x的不等式4x²-8mx+5m-1＞0的解集为R．若p∧q为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：由韦达定理及一元二次方程根的个数与△的关系，可由mx²-（1-m）x+m=0有两个正实根构造命题p为真时，关于m的不等式组；根据二次不等式恒成立的条件，可构造命题q为真时，关于m的不等式组；进而根据p∧q为真命题，则p，q均为真命题，可求出实数m的取值范围

解答：解：p真：

△1=(1-m)2-4m2≥0 x1+x2= m 1-m ＞0 x1x2=1＞0

⇒0＜m≤

1

3

，…（5分）
q真：△2=64m2-16(5m-1)＜0⇒

1

4

＜m＜1，…（10分）
又p∧q为真，
∴p，q均为真命题，
∴m的取值范围

1

4

＜m≤

1

3

，…（12分）

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，其中根据二次方程根的个数与△的关系，韦达定理及二次不等式恒成立的条件构造对应的关于m的不等式组，是解答的关键．