Question

已知点A(－2，3)，B(3，2)，过点P(0，－2)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率的取值范围及倾斜角的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　由题中条件“直线l与线段AB有公共点”展开联想：①因为直线l过定点P(0，－2)与线段AB的公共点在AB上，可用运动变化的观点，求出符合条件的所有直线的斜率；②从整体上考虑，由题中交点M在线段AB上的数学模型，联想到M为的定比分点，考虑运用定比分点的知识解决问题． 　　解法一　　如上图所示，直线PA的斜率kPA＝＝－，直线PB的斜率kPB＝＝，当直线l绕点P由PB按逆时针方向旋转到与y轴的重合的位置时，直线l的斜率变化范围是[，＋∞)，倾斜角的变化范围是[arctan，]；当直线l绕点P由y轴按逆时针方向旋转到PA的位置时，它的斜率的变化范围是(－∞，－]，倾斜角的变化范围是[，π－arctan]． 　　所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)，倾斜角的取值范围是[arctan，π－arctan]． 　　解法二　　如上图，设直线l与线段AB交于点M，则M是的内分点，令＝λ＞0． 　　由定比分点坐标公式得M(，)． 　　又直线l过点P(0，－2)，故l的斜率k＝＝，整理得λ＝． 　　当点M不与B点重合时，λ≥0，即≥0，解之得k＞或k≤－． 　　当点M与B重合时，λ不存在，可直接求出kBP＝． 　　以上同解法一． 　　评析　　(1)求直线倾斜角时，一要注意倾斜角的取值范围，二要注意与之相关的三角函数及反三角函数的有关概念． 　　(2)对于过两定点的直线的倾斜角问题，一般应先考虑斜率是否存在．这是隐含在题中的一个分类因素，很容易被忽视，应引起重视． 　　(3)数形结合是解析几何中的重要思想，解题时，可根据问题的需要，借助图形及图形性质直观作出判断，明确解题思想，既能避免繁杂冗长的计算与推理，又能考证结论是否完善．