Question

在数列{a_n}中，a_n+1+a_n=2n-44（n∈N*，）a₁=-23
（1）求a_n；（2）设S_n为{a_n}的前n项和，求S_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1+a_n=2n-44得a_n+2+a_n+1=2（n+1）-44，两式相减得出得a_n+2-a_n=2，奇数项构成等差数列，偶数项构成等差数列且公差为2．求出a₂=1-19
对n分奇偶数写出通项公式．
（2）对n分奇偶数求和，注意分组，根据a_n+1+a_n=2n-44相邻两项结合，逐类求解，再取最小值．

解答：解：（1）∵a_n+1+a_n=2n-44①∴a_n+2+a_n+1=2（n+1）-44②，②-①得a_n+2-a_n=2，
∴数列{a_n}中，奇数项构成等差数列，偶数项构成等差数列且公差为2．
由已知，a₁+a₂=2-44=-42，a₂=-19
当n是奇数时，a_n=a₁+（

n+1

2

-1）×2=n-24．
当n是偶数时，a_n=a₂+（

n

2

-1）×2=n-21．
∴a_n=

n-24      ，n为奇数时 n-21      ，n为偶数时

（2）当n是奇数时，
S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-2+a_n-1）+a_n
=2[1+3+…（n-2）]-44×

n-1

2

+（n-24）
=2×

(n-1)• n-1 2

2

-44×

n-1

2

+（n-24）
=

1

2

n²-22n-

3

2

=

1

2

（n-22）²-

487

2

当n=21或23时取得最小值-243．
当n是偶数时，
S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=2[（1+3+…+（n-1）]-

n

2

×44
=2×

n• n 2

2

-22n
=

1

2

（n-22）²-242
当n=22时取得最小值-242．
所以当n=21或23时S_n取得最小值-243．

点评：本题考查数列通项公式求解，数列求和．考查构造、分类讨论、计算能力．