Question

设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a=3，b=5，c=

14

．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）求

5 -6sin(C+ π 3 )

cos2C

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据余弦定理，利用三边的长求得cosC的值．
（Ⅱ）先利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，然后利用两角和公式对原式整理后，把sinC和cosC的值代入即可求得答案．

解答：（Ⅰ）解：由余弦定理cosC=

a2b2-c2

2ab

，
得cosC=

9+25-14

2×3×5

=

2

3

．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知cosC＞0，
所以角c为锐角，所以sinC=

1-cos2C

=

5

3

，
则

5 -6sin(C+ π 3 )

cos2C

 =

5 -6(sinc×cos π 3 +cosc×sin π 3 )

2cos2C-1

5 -6( 5 3 × 1 2 + 2 3 × 3 2 )

2× 4 9 -1

=18

3

．
所以

5 -6sin(C+ π 3 )

cos2C

=18

3

．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用和两角和公式的化简求值．注意对余弦定理及其变形公式的灵活运用．