Question

8．已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω∈R，0＜φ＜π），满足f（x）=-f（x+$\frac{π}{2}$），f（0）=$\frac{1}{2}$，f′（0）＜0，则g（x）=2cos（ωx+φ）在区间[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值与最小值之和为（　　）

• A． -3
• B． 3
• C． $\sqrt{3}$-1
• D． 1-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 首先，根据已知条件，确定ω，φ的值，然后，结合余弦函数的单调性确定其最大值和最小值．

解答 解：∵f（x）=-f（x+$\frac{π}{2}$），
∴f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x+π），
∴f（x）=f（x+π），
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，
∵f（0）=$\frac{1}{2}$，
∴sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$，
∵f′（0）＜0，
∴φ=$\frac{5π}{6}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{5π}{6}$），
∴g（x）=2cos（2x+$\frac{5π}{6}$），
∵0≤x≤$\frac{π}{4}$，
∴0≤2x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{5π}{6}$≤2x+$\frac{5π}{6}$≤$\frac{4π}{3}$，
∴-1≤cos（2x+$\frac{5π}{6}$）≤-$\frac{1}{2}$，
∴-2≤2cos（2x+$\frac{5π}{6}$）≤-1，
在区间[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值与最小值之和为-1-2=-3．
故选：A．

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角诱导公式、三角函数的值域等知识，属于中档题．