题目内容

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点M是A₁B中点，点N是B₁C的中点，连接MN．
（I）证明：MN∥平面ABC；
（II）若AB=1， $数学公式$ ，求二面角A-A₁C-B的余弦值的大小．

（1）证明：连接AB₁
∵四边形A₁ABB₁是矩形，点M是A₁B的中点
∴点M是AB₁的中点
∵点N是B₁C的中点
∴MN∥AC
∵MN?平面ABC，AC?平面ABC
∴MN∥平面ABC
（Ⅱ）解：（方法一）如图作AD⊥A₁C，交A₁C于点D，由条件知点D是A₁C中点，连接BD
∵AB=1，AC=AA₁= $\text{[math]}$ ，BC=2

∴AB²+AC²=BC²
∴AB⊥AC
∵AB⊥AA₁，AA₁∩AC=A
∴AB⊥面ACC₁A₁
∴AB⊥A₁C
∴A₁C⊥面ABD
∴BD⊥A₁C
∴∠ADB为二面角A-A₁C-B的平面角
在Rt△AA₁C中，AD= $\text{[math]}$ ∵BC=BA₁=2，A₁C=6，在等腰三角形CBA₁中D是A₁C中点，BD= $\text{[math]}$
∴△ABD中，∠BAD=90°
∵在Rt△ABD中，tan∠ADB= $\text{[math]}$
∴二面角A-A₁C-B的余弦值是 $\text{[math]}$
（方法二）∵三棱锥ABC-A₁B₁C₁为直三棱锥
∴AB⊥AA₁，AC⊥AA₁
∵AB=1，AC= $\text{[math]}$ ，BC=2

∴AB²+AC²=BC²
∴AB⊥AC
如图建立空间直角坐标系则A（0，0，0），B（0，1，0），C（ $\text{[math]}$ ，0，0），A₁（0，0， $\text{[math]}$ ）
如图可取 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =（0，1，0）为平面AA₁C的法向量
设平面A₁BC的法向量为 $\text{[math]}$ =（m，l，n）则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴l= $\text{[math]}$ m，n=m不妨取m=1则 $\text{[math]}$
∴cos＜ $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$
∴二面角A-A₁C-B的余弦值是 $\text{[math]}$
分析：（1）连接AB₁则易得点M是AB₁的中点，点N是B₁C的中点故根据中位线定理可得MN∥AC然后利用线面平行的判定定理即可得证．
（2）（法一）作AD⊥A₁C，交A₁C于点D，由条件知点D是A₁C中点，连接BD则根据题中条件可得AB⊥AC，AB⊥AA₁，再结合线面垂直的判定定理可得AB⊥面ACC₁A₁故AB⊥A₁C所以A₁C⊥面ABD所以BD⊥A₁C故∠ADB为二面角A-A₁C-B的平面角然后再解三角形求出cos∠ADB．
（法二）易得AB⊥AC，AB⊥AA₁，AC⊥AA₁，故可建立如图所示的空间直角坐标系然后求出平面AA₁C的法向量 $\text{[math]}$ ，平面A₁BC的法向量 $\text{[math]}$ 然后利用向量的夹角公式cos＜ $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ 即可求解．
点评：本题主要考查了线面平行的证明以及二面角的求解，属必考题，较难．解题的关键是透彻理解线面平行的判定定理和二面角的定义同时要注意空间向量法在求解二面角中点应用！