Question

20．已知$\overrightarrow a=3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}，\overrightarrow b=4\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，其中$\overrightarrow{e_1}=（{1，0}），\overrightarrow{e_2}=（{0，1}）$，求：
（1）$\overrightarrow a•\overrightarrow b$；$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}$|；
（2）$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐标求出向量$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$的模，展开数量积运算可求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$；求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标，由模的公式计算；
（2）分别求出$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow{b}|$，结合（1）中求出的$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，代入夹角公式得答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{e_1}=（{1，0}），\overrightarrow{e_2}=（{0，1}）$，
∴$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，又$\overrightarrow a=3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}，\overrightarrow b=4\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=（3\overrightarrow{{e}_{1}}-2\overrightarrow{{e}_{2}}）•（4\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）$=$12|\overrightarrow{{e}_{1}}{|}^{2}-2|\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}-5\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$
=10；
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=$3\overrightarrow{{e}_{1}}-2\overrightarrow{{e}_{2}}+4\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$=$7\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}=（7，0）-（0，1）$=（7，-1），
∴$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}$|=$\sqrt{{7}^{2}+（-1）^{2}}=\sqrt{50}$=$5\sqrt{2}$；
（2）$|\overrightarrow{a}|=|3\overrightarrow{{e}_{1}}-2\overrightarrow{{e}_{2}}|=|（3，-2）|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{b}|=|4\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}|=|（4，1）|=\sqrt{17}$．
∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角的余弦值为$\frac{10}{\sqrt{13}•\sqrt{17}}=\frac{10\sqrt{221}}{221}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的坐标加减运算，考查计算能力，是中档题．