Question

【题目】已知椭圆的离心率为，是椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于两点，若的周长为8.

（1）求椭圆方程；

（2）若直线的斜率不为0，且它的中垂线与轴交于点，求点的纵坐标的范围；

（3）是否在轴上存在点，使得轴平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）的纵坐标的范围为;(3) .

【解析】

试题(1)由椭圆定义得的周长为，再结合离心率，列方程组解得，，，(2)先以直线的斜率表示它的中垂线方程（结合韦达定理求中点坐标），解出与轴交点，即为点的纵坐标： ，再根据基本不等式求取值范围，注意讨论斜率不存在的情形，(3)轴平分，等价于，再利用坐标表示可得两根和与积的关系，最后根据韦达定理代入化简可得的值.

试题解析：（1）依题意得，，解得，，，

所以椭圆方程为.

（2）当不存在时，为坐标原点，，

当存在时，由可得，

设，，

则，，（*）

设弦有中点为，则，，

则，

令，有 ，

综上所述，的纵坐标的范围为.

（3）存在满足条件，

假设存在使得轴平分，则，

即 ，

有，

将（2）中（*）式代入有，

解得.