Question

如图,△ABC的顶点A(3,4)、B(6,0)、C(-5,-2),求∠A平分线AT所在的直线方程.

Answer 1

解法一:∵AC==10,AB==5,∴T分所成比λ== =2(三角形内角平分线性质).

设T的坐标为(x,y),则x==,y==-.

∴T(,-).

由直线方程的两点式得AT的方程为=,即7x-y-17=0.

解法二:直线AC的斜率k_AC==,直线AB的斜率k_AB==-.

设直线AT的斜率为k(k＞,或k＜-.∵直线AC到AT的角等于直线AT到AB的角,∴=.

解得k=7或k=-(舍去).

∴所求直线AT的方程为y-4=7(x-3),即7x-y-17=0.

解法三:由解法二知k_AC·k_AB=-1,即AC⊥AB.∵AT是∠A的平分线,∴∠CAT=45°.

设直线AT的斜率为k,得=tan45°=1,解得k=7.

∴所求直线方程为y-4=7(x-3),即7x-y-17=0.

解法四:设直线AT上任一点P(x,y),则P点到直线AB、直线AC的距离相等.

直线AC方程为3x-4y+7=0,直线AB方程为4x+3y-24=0.

∴=.

化简,得x+7y-31=0或7x-y-17=0.

结合图形分析知x+7y-31=0为∠BAC的外角平分线方程,故舍去.

∴AT所在直线的方程为7x-y-17=0.