Question

已知等比数列{a_n}，首项a₁=2，公比q=

2

2

（1）求证：数列{a_n²}为等比数列；
（2）求

lim

n→∞

(

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

)的值．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列{a_n}的首项a₁与公比，可知数列{a_n²}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列
（2）利用无穷等比数列求和公式直接求解．

解答：证明：（1）∵等比数列{a_n}，首项a₁=2，公比q=

2

2

∴

a 2 n+1

a 2 n

=

1

2

∴数列{a_n²}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列
（2）由（1）知，数列{a_n²}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列，
由于公比小于1，所以

lim

n→∞

(

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

)=

2

1- 1 2

=4

点评：本题以等比数列为载体，考查等比数列的证明，同时考查无穷等比数列和的极限问题，正确运用公式是关键．