Question

设数列的前项和为．已知，=a_n+1－n²－n－()
(1) 求的值；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 证明:对一切正整数，有++…+<．

Answer 1

(1) 4
(2) n²
(3)见解析

(1) 依题意，2S₁=a₂－－1－，又，所以；
(2) 当时， 2S_n=na_n+1－n³－n²－n，
∴2S_n－1=(n－1)a_n－(n－1)³－(n－1)²－(n－1)，
两式相减得2a_n=na_n+1－(n－1)a_n－(3n²－3n+1)－(2n－1)－
整理得，即－=1，
又－=1， 故数列{}是首项为=1，公差为的等差数列，
所以=1+(n－1)×1=n，所以．
(3) 当时， =1<；
当时， +=1+=<；
当时， =<=－，此时
++…+=1+++…+<1++(－)+(－)+…+(－)
=1++－=－<
综上，对一切正整数，有++…+<．