题目内容

18、在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求证：BC⊥平面PBD；
（2）设E为侧棱PC上一点， $数学公式$ ，试确定λ的值，使得二面角E-BD-P的大小为45°．

解：（1）证明：平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD．如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）（6分） $\text{[math]}$ =（-1，1，0）．
所以 $\text{[math]}$ =0，BC⊥DB，
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又BD∩PD=D
所以BC⊥平面PBD．（8分）
（2）平面PBD的法向量为 $\text{[math]}$ =（-1，1，0）， $\text{[math]}$ ，λ∈（0，1），所以E（0，2λ，1-λ），
设平面QBD的法向量为n=（a，b，c）， $\text{[math]}$ =（0，2λ，1-λ）
由n• $\text{[math]}$ =0，n• $\text{[math]}$ =0，得所以， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，（10分）
由cos $\text{[math]}$ 解得λ= $\text{[math]}$ -1（12分）
（用传统方法解得答案酌情给分）
分析：（1）由题设条件可证得DP，DA，DC三线两两垂直，故可以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，按题中所给的条件，给出各点的坐标，求出直线BC的方向向量以及平面PBD的法向量，由数量积为0证明线面垂直．
（2）由（1）中的坐标系，及E为侧棱PC上一点， $\text{[math]}$ ，给出用参数表示的点E的坐标，求出两个平面EBD与平面PBD的法向量，由公式用参数表示出二面角的余弦值，再令其值是45°的余弦值，解出其参数值即可．
点评：本题考查二面角的平面角的求法，本题解答用的是向量法，求解此类题，关键是掌握住向量公式与所求解问题的对应，建立合适的空间坐标系可以大大降低运算的难度，此种做法运算量较大，解题时要认真严谨，避免运算出错，导致解题失败．