Question

（2009•成都模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且PD⊥平面ABCD，PD=AB=1，EF分别是PB、AD的中点，
（I）证明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B-CE-F的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴、DC所在的直线为y轴、DP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），E（

1

2

，

1

2

，

1

2

），F（

1

2

，0，0），

EF

=(0，-

1

2

，-

1

2

)，平面PCD的一个法向量为

DA

=(1，0，0)．由此得到

EF

⊥

DA

．由EF?平面PCD，知EF∥平面PCD．
（Ⅱ）由

PC

=(0，1，-1)，

PB

=(1，1，-1)，得EF⊥PC，EF⊥PB，由PB，PC是平面PCD内的两条相交线，知EF⊥平面PBC，由EF?平面EFC，知平面PBC⊥平面EFC，由此能求出二面角B-CE--F的大小．

解答：解：（Ⅰ）以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴、DC所在的直线为y轴、DP所在的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
∴E（

1

2

，

1

2

，

1

2

），F（

1

2

，0，0），

EF

=(0，-

1

2

，-

1

2

)，
平面PCD的一个法向量为

DA

=(1，0，0)．
∵

EF

•

DA

=(0，-

1

2

，-

1

2

)•(1，0，0)=0，
∴

EF

⊥

DA

．
∵EF?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
（Ⅱ）∵

PC

=(0，1，-1)，

PB

=(1，1，-1)，

EF

•

PC

=0×0+(-

1

2

)×1+(-

1

2

)×(-1)=0，

EF

•

PB

=0×1+(-

1

2

)× 1+(-

1

2

)×(-1)=0，
∴EF⊥PC，EF⊥PB，
∵PB，PC是平面PCD内的两条相交线，
∴EF⊥平面PBC，
∵EF?平面EFC，
∴平面PBC⊥平面EFC，
∴二面角B-CE--F的大小为

π

2

．

点评：本题考查EF∥平面PCD的证明和求二面角B-CE-F的大小，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．