Question

如图，在四面体A－BCD中，AD^ 平面BCD，BC^ CD，AD＝2，BD＝2．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．

(Ⅰ)证明：PQ∥平面BCD；

(Ⅱ)若二面角C－BM－D的大小为60°，求Ð BDC的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OP，OF，FQ． 　　因为AQ＝3QC，所以 　　QF∥AD，且QF＝AD 　　因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以 　　OP∥DM，且OP＝DM 　　又点M是AD的中点，所以 　　OP∥AD，且OP＝AD 　　从而OP∥FQ，且OP＝FQ 　　所以四边形OPQF是平行四边形，故PQ∥OF 　　又PQË 平面BCD，OFÌ 平面BCD，所以 　　PQ∥平面BCD． 　　(Ⅱ)作CG^ BD于点G，作GH^ BM于点HG，连接CH，则CH^ BM，所以Ð CHG为二面角的平面角．设Ð BDC＝． 　　在Rt△BCD中， 　　CD＝BDcos＝2cos， 　　CG＝CDsin＝2cossin， 　　BG＝BCsin＝2sin2 　　在Rt△BDM中， 　　HG＝＝ 　　在Rt△CHG中， 　　tanÐ CHG＝ 　　所以tan＝ 　　从而＝60° 　　即Ð BDC＝60°．

提示：

本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力．