Question

给出以下判断：
（1）b=0是函数f（x）=ax²+bx+c为偶函数的充要条件；
（2）椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中，以点（1，1）为中点的弦所在直线方程为x+2y-3=0；
（3）回归直线

y

=

b

x+

a

必过点(

.

x

，

.

y

)；
（4）如图，在四面体ABCD中，设E为△BCD的重心，则

AE

=

AB

+

1

2

AC

+

2

3

AD

；
（5）双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1( a＞0 ， b＞0 )的两焦点为F₁，F₂，P为右支是异于右顶点的任一点，△PF₁F₂的内切圆圆心为T，则点T的横坐标为a．其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：（1）利用充要条件的判断方法判断；
（2）利用点差法，求出以点（1，1）为中点的弦所在直线方程；
（3）回归直线

y

=

b

x+

a

必过点(

.

x

，

.

y

)，故正确；
（4）利用向量的线性运算可得结论；
（5）设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B，与F₁F₂切于点M，则|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|，又点P在双曲线右支上⇒|PF₁|-|PF₂|=2a⇒|F₁M|-|F₂M|=2a．而|F₁M|+|F₂M|=2c，设M点坐标为（x，0），则由|F₁M|-|F₂M|=2a，⇒（x+c）-（c-x）=2a，可解得x=a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，于是问题解决．

解答：解：（1）函数f（x）=ax²+bx+c是偶函数，可得f（-x）=f（x），得a（-x）²-bx+c=ax²+bx+c，∴-bx=bx，∴b=0；当b=0时，f（x）=ax²+c，满足f（-x）=f（x），是偶函数，所以b=0是函数f（x）=ax²+bx+c为偶函数的充要条件，故（1）正确；
（2）设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），∵A（1，1）为EF中点，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，把E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）分别代入椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，得

x12 4 + y12 3 =1 x22 4 + y22 3 =1

，∴3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，∴6（x₁-x₂）+8（y₁-y₂）=0，∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

，∴以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为3x+4y-7=0，故（2）错误；
（3）回归直线

y

=

b

x+

a

必过点(

.

x

，

.

y

)，故正确；
（4）在四面体ABCD中，设E为△BCD的重心，则

AE

=

AB

+

BE

=

AB

+

2

3

•

1

2

(

BC

+

BD

)=

1

3

(

AB

+

AC

+

AD

)，故（4）不正确；
（5）设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B，与F₁F₂切于点M，则|PA|=|PB|，|F₁A|=|F₁M|，|F₂B|=|F₂M|．又点P在双曲线右支上，∴|PF₁|-|PF₂|=2a，即（|PA|+|F₁A|）-（|PB|+|F₂B|）=2a，∴|F₁M|-|F₂M|=2a，而|F₁M|+|F₂M|=2c，设M点坐标为（x，0），∵|F₁M|-|F₂M|=2a，∴（x+c）-（c-x）=2a，解得x=a，故（5）正确．
故答案为：（1）（3）（5）．

点评：本题考查命题真假的判断，涉及的知识点多，需要逐个判断，有难度．