Question

已知椭圆C：，两直线l₁：x=-，l₂：x=，直线l₁为抛物线E：y²=16x的准线，直线l：x+2y-4=0与椭圆相切。
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)如果椭圆C的左顶点为A，右焦点为F，过F的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线l₂分别交于N，M两点，求证：四边形MNPQ的对角线的交点是定点。

Answer 1

(Ⅰ)解：由题知，抛物线y²=16x的准线方程为x=-4，

 设椭圆的右焦点为F（c，0），其中，
则，即，①
由，消去x，得，
由于直线x+2y-4=0与椭圆C相切，
所以，
即4b²+a²-16=0，
所以4（a²-c²）+a²-16=0，
整理得5a²-4c²-16=0， ②
将①代人②，得5×4c-4c²-16=0，即c²-5c+4=0，解得c=1或4，
由于，所以c=1，
所以，所以椭圆C的方程为。
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，A（-2，0），F(1，0)，
直线l₂的方程为x=4，
根据椭圆的对称性，当直线PQ⊥x轴时，四边形MNPQ是等腰梯形，对角线PM，ON的交点在x轴上，

 此时，直线PQ的方程为x=1，
由，得，
不妨取，故直线AP的方程为，
将x=4代入，得N（4，3），所以，直线QN的方程为，
令y=0，得x=2，即直线QN与x轴的交点为R(2，0)，
此点恰为椭圆的右顶点．
下面只要证明，在一般情况下Q，N，R三点共线即可．
设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，N(4，y₃)，M(4，y₄)，直线PQ的方程为x=my+1，
由消去x，得，
所以，，
因为三点共线，
所以，与共线，
所以，即，
由于，，
所以，

所以，共线，即Q，N，R三点共线。
同理可证，P，M，R三点共线。
所以，四边形MNPQ的对角线的交点是定点，此定点恰为椭圆的右顶点。