题目内容
如图，矩形ABCD中，|AB|＝2
，|BC|＝2．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知
＝λ
，
＝λ
，其中0＜λ＜1．
（1）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：
＋y2＝1上；
（2）若点N是直线l：y＝x＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T．是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）见解析（2）满足条件的点N存在，其坐标为
【解析】
试题分析：根据条件，可用参数
表示点
的坐标，两点式写出直线
的方程，并求出它们的交点
的坐标，消去参数即可得证.（2）假设存在点
在直线
上，使
,
设
，
，
,
，
直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，可写出两直线的方程，并分别与椭圆方程联立组成方程级，利用一元二次方程根与系数的关系，结合条件探究与的关系，从而确定关于
的方程的根的存在性，也就是点
的存在性.
试题解析：（1）由已知，得F(
，0)，C(
，1)．
由
＝λ
，
＝λ
，得R(
λ，0)，R′(
，1－λ)．
又E(0，－1)，G(0，1)，则
直线ER的方程为y＝
x－1， ①
直线GR′的方程为y＝－
x＋1． ②
由①②，得M(
，
)．
∵
＋(
)2＝
＝
＝1，
∴直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：
＋y2＝1上． 5分
（2）假设满足条件的点N(x0，y0)存在，则
直线NF1的方程为y＝k1(x＋1)，其中k1＝
，
直线NF2的方程为y＝k2(x－1)，其中k2＝
．
由消去y并化简，得(2k12＋1)x2＋4k12x＋2k12－2＝0．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－
，x1x2＝
．
∵OP，OQ的斜率存在，∴x1≠0，x2≠0，∴k12≠1．
∴kOP＋kOQ＝
＋
＝
＋
＝2k1＋k1·
＝k1(2－
)＝－
．
同理可得kOS＋kOT＝－
．
∴kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝－2(
＋
)＝－2·
＝－
．
∵kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0，∴－
＝0，即(k1＋k2)(k1k2－1)＝0．
由点N不在坐标轴上，知k1＋k2≠0，
∴k1k2＝1，即
·
＝1． ③
又y0＝x0＋2， ④
解③④，得x0＝－
，y0＝
．
故满足条件的点N存在，其坐标为（－
，
）． 13分
考点：1、动点轨迹方程的求法；2、直线与椭圆的位置关系的应用；3、平面向量的坐标表示.
步步高达标卷系列答案
如图，矩形ABCD中，AB=
A 若方程ax-x-a=0有两个实数解，则a的取值范围是
如图，矩形ABCD中，
（理）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD