题目内容
(理)如图,矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD
(1)问BC边上是否存在Q点,使
⊥
,说明理由.
(2)问当Q点惟一,且cos<
,
>=
时,求点P的位置.
(1)问BC边上是否存在Q点,使
PQ |
QD |
(2)问当Q点惟一,且cos<
BP |
QD |
| ||
10 |
分析:(1)建立空间直角坐标系A一xyz,设P,D,Q的坐标,求得向量坐标,利用
⊥
,可方程,利用判别式,即可得到结论;
(2)当Q点惟一时,由5题知,a=2,y=1,利用cos<
,
>=
,建立方程,即可求点P的位置.
PQ |
QD |
(2)当Q点惟一时,由5题知,a=2,y=1,利用cos<
BP |
QD |
| ||
10 |
解答:(理)解:(1)如答图9-6-2所示,建立空间直角坐标系A一xyz,设P(0,0,z),D(0,a,0),Q(1,y,0),
则
=(1,y,-z),
=(-1,a-y,0),且
⊥
,
∴
•
=-1+y(a-y)=0
∴y2-ay+1=0.
∴△=a2-4.
当a>2时,△>0,存在两个符合条件的Q点;
当a=2时,△=0,存在惟一一个符合条件的Q点;
当a<2时,△<0,不存在符合条件的Q点.
(2)当Q点惟一时,由题知,a=2,y=1.
∴B(1,0,0),
=(-1,0,z),
=(-1,1,0).
∴cos<
,
>=
=
=
.
∴z=2.即P在距A点2个单位处.
则
PQ |
QD |
PQ |
QD |
∴
PQ |
QD |
∴y2-ay+1=0.
∴△=a2-4.
当a>2时,△>0,存在两个符合条件的Q点;
当a=2时,△=0,存在惟一一个符合条件的Q点;
当a<2时,△<0,不存在符合条件的Q点.
(2)当Q点惟一时,由题知,a=2,y=1.
∴B(1,0,0),
BP |
QD |
∴cos<
BP |
QD |
| ||||
|
|
1 | ||||
|
| ||
10 |
∴z=2.即P在距A点2个单位处.
点评:本题考查向量在几何中的运用,解题的关键是建立坐标系,利用坐标表示点与向量,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目