题目内容

(理)如图,矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD
(1)问BC边上是否存在Q点,使
PQ
QD
,说明理由.
(2)问当Q点惟一,且cos<
BP
QD
>=
10
10
时,求点P的位置.
分析:(1)建立空间直角坐标系A一xyz,设P,D,Q的坐标,求得向量坐标,利用
PQ
QD
,可方程,利用判别式,即可得到结论;
(2)当Q点惟一时,由5题知,a=2,y=1,利用cos<
BP
QD
>=
10
10
,建立方程,即可求点P的位置.
解答:(理)解:(1)如答图9-6-2所示,建立空间直角坐标系A一xyz,设P(0,0,z),D(0,a,0),Q(1,y,0),

PQ
=(1,y,-z),
QD
=(-1,a-y,0),且
PQ
QD

PQ
QD
=-1+y(a-y)=0
∴y2-ay+1=0.
∴△=a2-4.
当a>2时,△>0,存在两个符合条件的Q点;
当a=2时,△=0,存在惟一一个符合条件的Q点;
当a<2时,△<0,不存在符合条件的Q点.
(2)当Q点惟一时,由题知,a=2,y=1.
∴B(1,0,0),
BP
=(-1,0,z),
QD
=(-1,1,0).
∴cos<
BP
QD
>=
BP
QD
|
BP
||
QD
=
1
1+z2
×
2
=
10
10

∴z=2.即P在距A点2个单位处.
点评:本题考查向量在几何中的运用,解题的关键是建立坐标系,利用坐标表示点与向量,属于中档题.
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