题目内容
如图,矩形ABCD中,AB=8
| ||
3 |
(I)建立适当的平面直角坐标系,求椭圆M的方程;
(II)过椭圆M的中心作直线l与椭圆交于P,Q两点,设椭圆的右焦点为F2,当∠PF2Q=
2π |
3 |
分析:先以过O平行于AB的直线为x轴,以过O平行于AD的直线为y轴建立直角坐标系.
(1)设椭圆方程为
+
=1,根据题目中准线方程、短轴长和离心率确定a,b,c的值,代入即可确定方程.
(2)先求出|PF1|、|PF2|的距离,根据对称性可知|PF1|=|QF2|,再由三角形面积公式可得到答案.
(1)设椭圆方程为
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(2)先求出|PF1|、|PF2|的距离,根据对称性可知|PF1|=|QF2|,再由三角形面积公式可得到答案.
解答:解;如图,建立直角坐标系,
依题意:设椭圆方程为
+
=1(a>b>0),
(I)依题意:
=
,b=1,a2=b2+c2,
∵椭圆M的离心率大于0.7,所以a2=4,b2=1.
∴椭圆方程为
+y2=1.
(II)因为直线l过原点与椭圆交于点P,Q,
设椭圆M的左焦点为F1.
由对称性可知,四边形PF1QF2是平行四边形.
∴△PF2Q的面积等于△PF1F2的面积.
∵∠PF2Q=
,
∴∠F1PF2=
.
设|PF1|=r1,|PF2|=r2,
则
∴r1r2=
.
∴S△PF2Q=S△F2PF1=
r1r2sin
=
.
依题意:设椭圆方程为
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(I)依题意:
a2 |
c |
4
| ||
3 |
∵椭圆M的离心率大于0.7,所以a2=4,b2=1.
∴椭圆方程为
x2 |
4 |
(II)因为直线l过原点与椭圆交于点P,Q,
设椭圆M的左焦点为F1.
由对称性可知,四边形PF1QF2是平行四边形.
∴△PF2Q的面积等于△PF1F2的面积.
∵∠PF2Q=
2π |
3 |
∴∠F1PF2=
π |
3 |
设|PF1|=r1,|PF2|=r2,
则
|
∴r1r2=
4 |
3 |
∴S△PF2Q=S△F2PF1=
1 |
2 |
π |
3 |
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3 |
点评:本题主要考查椭圆的标准方程.圆锥曲线是每年必考题,对于圆锥曲线的基础知识一定要熟练掌握.
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