题目内容

精英家教网如图,矩形ABCD中,AB=
8
3
3
,BC=2,椭圆M的中心和准线分别是已知矩形的中心和一组对边所在直线,矩形的另一组对边间的距离为椭圆的短轴长,椭圆M的离心率大于0.7.
(I)建立适当的平面直角坐标系,求椭圆M的方程;
(II)过椭圆M的中心作直线l与椭圆交于P,Q两点,设椭圆的右焦点为F2,当∠PF2Q=
3
时,求△PF2Q的面积.
分析:先以过O平行于AB的直线为x轴,以过O平行于AD的直线为y轴建立直角坐标系.
(1)设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
,根据题目中准线方程、短轴长和离心率确定a,b,c的值,代入即可确定方程.
(2)先求出|PF1|、|PF2|的距离,根据对称性可知|PF1|=|QF2|,再由三角形面积公式可得到答案.
解答:精英家教网解;如图,建立直角坐标系,
依题意:设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),
(I)依题意:
a2
c
=
4
3
3
,b=1,a2=b2+c2

∵椭圆M的离心率大于0.7,所以a2=4,b2=1.
∴椭圆方程为
x2
4
+y2=1


(II)因为直线l过原点与椭圆交于点P,Q,
设椭圆M的左焦点为F1
由对称性可知,四边形PF1QF2是平行四边形.
∴△PF2Q的面积等于△PF1F2的面积.
∠PF2Q=
3

F1PF2=
π
3

设|PF1|=r1,|PF2|=r2
r1+r2=4
r
2
1
+
r
2
2
-r1r2=12

r1r2=
4
3

S△PF2Q=SF2PF1=
1
2
r1r2sin
π
3
=
3
3
点评:本题主要考查椭圆的标准方程.圆锥曲线是每年必考题,对于圆锥曲线的基础知识一定要熟练掌握.
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