Question

如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.

证明：AB平面PFE.

若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.

Answer 1

证明：如题(20)图.由DE=EC，PD=PC知，E为等腰PDC中DC边的中点，故

PE AC，

又平面PAC 平面ABC，平面PAC 平面ABC=AC，PE 平面PAC，PE AC，所以PE 平面ABC，从而PE AB.

因.   

从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，

所以平面PFE.

(2)解：设,则在直角ABC中，

.从而

由，知，得,故，

即.

由,,

从而四边形DFBC的面积为

由(1)知，PE 平面ABC，所以PE为四棱锥P-DFBC的高.

在直角中，,

体积,

故得，解得，由于，可得.

所以.