Question

19．已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，数列{b_n}满足b₁=1，b₂=2，且当n∈N^*时，a_nb_n+1-4b_n+1=4nb_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n∈N^*），记数列{c_n}的前n项和为T_n，求使T_n＞$\frac{4}{15}$成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析 （1）数列{b_n}满足b₁=1，b₂=2，且当n∈N^*时，a_nb_n+1-4b_n+1=4nb_n．n=1时，2a₁-4×2=4×1，解得a₁．
（2）c_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（2n+4）（2n+6）}$=$\frac{1}{（n+2）（n+3）}$=$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$，利用裂项求和方法可得T_n，再利用数列单调性即可得出．

解答 解：（1）数列{b_n}满足b₁=1，b₂=2，且当n∈N^*时，a_nb_n+1-4b_n+1=4nb_n．
∴n=1时，2a₁-4×2=4×1，解得a₁=6．
∴a_n=6+2（n-1）=2n+4．
（2）c_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（2n+4）（2n+6）}$=$\frac{1}{（n+2）（n+3）}$=$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$，
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+3}$．
由T_n＞$\frac{4}{15}$，即$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+3}$＞$\frac{4}{15}$，化为：$\frac{1}{n+3}$＜$\frac{1}{15}$，
解得n≥13．
∴使T_n＞$\frac{4}{15}$成立的正整数n的最小值为13．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．