Question

7．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x²f′（x）+1＞0，f（1）=5，则不等式$f（x）＜\frac{1}{x}+4$的解集为（0，1）．

Answer 1

分析 设$g（x）=f（x）-\frac{1}{x}-4$对其求导，结合已知不等式得到其单调性，所求不等式转利用单调性得到自变量的大小，即x范围．

解答 解：由x²f′（x）+1＞0，设$g（x）=f（x）-\frac{1}{x}-4$，则$g′（x）=f′（x）+\frac{1}{x^2}$=$\frac{{x}^{2}f'（x）+1}{{x}^{2}}$＞0．
故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）=0，故g（x）＜0的解集为（0，1），
即$f（x）＜\frac{1}{x}-4$的解集为（0，1）．
故答案为：（0，1）．

点评 本题考查了抽象不等式的解法；关键是正确构造新函数，利用已知不等式得到函数的单调性．