Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设直线l：y=t²-t（其中0＜t＜，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S₁（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是S₂（t），设，当g（t）取最小值时，求t的值．
（3）已知m≥0，n≥0，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知条件选择待定系数法确定函数解析式是解决本题的关键，充分借助二次函数的对称性解决该问题可以事半功倍；
（2）利用定积分表示出所求的图形面积是解决本题的关键．得出关于t的函数关系，根据函数解析式的类型选择合适的方法求解该函数的最值，利用导数求解其最小值；
（3）利用均值不等式进行放缩是证明该不等式的关键，根据已知的函数可以得出关于m，n的不等式．
解答：解：（1）由二次函数图象的对称性，可设，又f（0）=0∴a=1
故f（x）=x²-x．
（2）据题意，直线l与f（x）的图象的交点坐标为（t，t²-t），由定积分的几何意义知
=
=
=．
而
令，或（不合题意，舍去）
当，g（t）递减，，g'（t）≥0，g（t）递增，
故当时，g（t）有最小值．
（3）∵f（x）的最小值为∴①②
①+②得：③
又
由均值不等式和③知：
故
．
点评：本题考查函数解析式的求解，考查二次函数的对称性．考查定积分求解曲边图形面积的思想和方法，导数求函数最值的工具作用．考查函数思想解决证明不等式问题、用到了均值定理进行放缩．