Question

（09年海淀区期中理）（14分） 

设是定义在区间D上的函数，若对任何实数以及D中的任意两数，恒有，则称为定义在D上的C函数.

   （Ⅰ）试判断函数，是否为各自定义域上的C函数，并说明理由；

   （Ⅱ）已知是R上的C函数，m是给定的正整数，设，且，记. 对于满足条件的任意函数，试求的最大值；

   （Ⅲ）若是定义域为R的函数，且最小正周期为，试证明不是R上的C函数.

Answer 1

解析：（Ⅰ）是C函数，证明如下：

对任意实数及，

有

.

即

∴是C函数.

不是C函数，证明如下：

取，，，

则

即

∴不是C函数.    ……………………………4分

   （Ⅱ） 对任意，取，，

   是R上的C函数， ，且

∴.

那么.

可证是C函数，且使得都成立，此时．

综上所述，的最大值为．…………………………9分

   （Ⅲ）假设是R上的C函数．

若存在且，使得

若

记，，，则，且．

那么

这与矛盾.

若

记，，也可得到矛盾．

∴在上是常数函数，又因为是周期为T的函数，所以在R上是常数函数，这与的最小正周期为T矛盾.

所以不是R上的C函数．…………………14分