Question

（09年海淀区期中理）（14分） 

设函数.

   （Ⅰ）当且函数在其定义域上为增函数时，求的取值范围；

   （Ⅱ）若函数在处取得极值，试用表示；

   （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，讨论函数的单调性.

Answer 1

解析：（Ⅰ） 当时，函数，其定义域为.

  ∴.……………………1分

  ∵函数是增函数，

  ∴当时，恒成立.…………………………………2分

即当时，恒成立.

  ∵当时，，且当时取

等号.  …………………………………4分

∴的取值范围为.  ……………………………5分

   （Ⅱ） ∵，且函数在处取得极值，

∴ .

∴.………………………………7分

此时 .

    当，即时，恒成立，此时不是极值点.

∴.……………………8分

   （Ⅲ）由得

①当时，.

∴当时，；当时，.

∴当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.………10分

②当时，.

∴当，或时，；当时，.

∴当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，.…………………………12分

③当时，.

∴当，或时，；当时，.

∴当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，.…………………………14分

综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，.