如图.已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左焦点为F.点P为椭圆C上任意一点.且|PF|的最小值为$\sqrt{2}$-1.离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.直线l与椭圆C交于不同两点A.B.且∠OFA+∠OFB=180°．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)当A为椭圆与y轴正半轴的交点时.求直线l的方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为$\sqrt{2}$-1，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A、B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；
（Ⅲ）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为$\sqrt{2}$-1，求出a²=2，b²=1，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由题意A（0，1），F（-1，0），得k_AF=$\frac{1-0}{0-（-1）}$=1，从而k_BF=-1，进而直线BF为：y=-x-1，代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得3x²+4x=0，由此能求出直线AB的方程．
（Ⅲ）由∠OFA+∠OFB=180°，知B在于x轴的对称点B₁在直线AF上，设直线AF的方程为：y=k（x+1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（${k}^{2}+\frac{1}{2}$）x²+2k²x+k²-1=0，由此利用韦达定理、直线的斜率、直线方程，结合已知条件能求出对于动直线l，存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．

解答解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，∴a=$\sqrt{2}b$，
∵点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为$\sqrt{2}$-1，
∴c=1，∴a²=b²+c²=b²+1，
解得a²=2，b²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）由题意A（0，1），F（-1，0），
∴k_AF=$\frac{1-0}{0-（-1）}$=1，
∵∠OFA+∠OFB=180°．∴k_BF=-1，
∴直线BF为：y=-（x+1）=-x-1，
代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得3x²+4x=0，解得x=0或x=-$\frac{4}{3}$，
代入y=-x-1，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，舍，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，∴B（-$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
∴${k}_{AB}=\frac{1-\frac{1}{3}}{0-（-\frac{4}{3}）}$=$\frac{1}{2}$，∴直线AB的方程为：y=$\frac{1}{2}x+1$．
（Ⅲ）存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．
证明：∵∠OFA+∠OFB=180°，∴B在于x轴的对称点B₁在直线AF上，
设直线AF的方程为：y=k（x+1），
代入$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（${k}^{2}+\frac{1}{2}$）x²+2k²x+k²-1=0，
由韦达定理得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}$，
由直线AB的斜率${k}_{AB}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，得AB的方程为：y-y₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁）
令y=0，得：
x=x₁-y₁•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}=\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$，
y₁=k（x₁+1），-y₂=k（x₂+1），
$x=\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}×k（{x}_{1}+1）+{x}_{1}×k（{x}_{2}+1）}{k（{x}_{1}+1）+k（{x}_{2}+1）}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$
=≥$\frac{2×\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}-\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}}{2-\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+\frac{1}{2}}}$=-2，
∴对于动直线l，存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．