Question

6．已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，且不等式ax²-3x+2＞0的解集为{x|x＜b或x＞2}．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n公式；
（2）求数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意方程ax²-3x+2=0的两根为2、b，利用韦达定理可知a=b=1，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（I）、裂项可知b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意，方程ax²-3x+2=0的两根为2、b，
∴2+b=$\frac{3}{a}$，4a-4=0，
解得：a=1，b=1，
∴a_n=1+（n-1）=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（Ⅱ）由（I）可知${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n•（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=b{\;}_1+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=[{（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n}-{{\frac{1}{n+1}}^{\;}}}）}]$
=$（{1-\frac{1}{n+1}}）$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．