Question

已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（

3

，-1）且

m

•

n

=1．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

3

，b+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式得到关于角A的三角函数等式，利用公式asinx+ncosx=

a2+b2

sin(x+θ)化简三角函数，求出整体角的范围，求出角A．
（2）利用三角形的余弦定理得到三边的等式关系，将b²+c²用（b+c）²-2bc表示，求出bc，利用三角形的面积公式求出三角形的面积．

解答：解：（1）由已知

m

•

n

=

3

sinA-cosA=1
∴sin(A-

π

6

)=

1

2

又0＜A＜π
∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

∴A-

π

6

=

π

6

即A=

π

3

（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA
∴3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=9-3bc
得bc=2
则S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

点评：本题考查向量的数量积公式、考查利用三角函数的公式asinx+ncosx=

a2+b2

sin(x+θ)化简三角函数、考查三角形的余弦定理、考查三角形的面积公式．