Question

19．已知函数y=a^2x+2a^x+3（a＞0，a≠1）在区间[-1，1]上有最大值11，试求a的值．

Answer 1

分析 构造函数t=a^x，可转化为y=（t+1）²+2，对a分a＞1与0＜a＜1讨论，利用指数函数的单调性即可求得a的值．

解答 解：y=a^2x+2a^x+3=（a^x）²+2a^x+3（1分）
=（a^x+1）²+2，（2分）
令a^x=t，则y=（t+1）²+2，（3分）
当a＞1时，因为-1≤x≤1，所以$\frac{1}{a}$≤a^x≤a，（4分）
即$\frac{1}{a}$≤t≤a．（5分）
因为函数的对称轴为t=-1，所以当t=a时函数取最大值，
所以（a+1）²+2=11，（6分）  所以a=2；（7分）
当0＜a＜1时，因为-1≤x≤1，所以a≤a^x≤$\frac{1}{a}$，（8分）
即a≤t≤$\frac{1}{a}$，所以当t=$\frac{1}{a}$时函数取最大值，（9分）
所以（$\frac{1}{a}$+1）²+2=11，（10分），所以a=$\frac{1}{2}$．（11分）
综上所述，a的值是2或$\frac{1}{2}$．（12分）

点评 本题考查指数函数的单调性的应用，考查构造函数思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．