Question

平面内有n条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n条直线把平面分割成(n²+n+2)块.

Answer 1

证明：(1)当n=1时，1条直线把平面分成2块，又(1²+1+2)=2，故命题成立.

(2)假设n=k(k≥1)时命题成立，即k条满足题设的直线把平面分成 (k²+k+2)块，那么当n=k+1时，第k+1条直线被k条直线分成k+1段，每段把它们所在的平面块又分成了2块.

因此，增加了k+1个平面块，

所以k+1条直线把平面分成了(k²+k+2)+k+1=［(k+1)²+(k+1)+2］块，

这说明当n=k+1时命题也成立.

由(1)(2)知，对一切n∈N^*，命题都成立.