Question

平面内有n条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n条直线互相分割成n²段.

Answer 1

证明：(1)当n=1时，一条直线为一段，又1²=1，命题成立.

（2）假设n=k时，满足题意的k条直线互相分割成k²段,

则当n=k+1时，k+1条直线中的k条直线互相分割成了k²段，第k+1条直线与另外k条直线都相交，它被这k条直线分成了k+1段，又把k条直线中的每条直线的其中一段分成了2段，因此，共增加了(k+1)+k=2k+1段，所以k+1条直线互相分割成k²+2k+1=(k+1)²段.

∴当n=k+1时，命题成立.

由（1）（2）可知，对一切n∈N^*，命题都成立.