Question

ABCD是矩形，AB=a，BC=b（a＞b），沿对角线AC把△ADC折起，使AD⊥BC．
（1）求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线；
（2）求BD的长．

Answer 1

分析：（1）由于ABCD是矩形，则AB⊥BC，因为AD⊥BC，故BC⊥平面ABD，即BC⊥BD；又AD⊥DC，AD⊥BC，即AD⊥平面BCD，即BD⊥AD，即可得证．
（2）由（1）得，在直角三角形ABD中，AB=a，BC=b（a＞b），得BD=

a2-b2

．

解答：解：（1）由于ABCD是矩形，则AB⊥BC，
因为AD⊥BC，故BC⊥平面ABD，即BC⊥BD；
又AD⊥DC，AD⊥BC，即AD⊥平面BCD，
即BD⊥AD，
又易知AD与BC是异面直线．
故可得BD是异面直线AD与BC的公垂线．
（2）由（1）得，在直角三角形ABD中，
AB=a，BC=b（a＞b），
故得BD=

a2-b2

．

点评：此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．