Question

（2013•深圳二模）如图，已知四边形 ABCD 是矩形，AB=2BC=2，三角形 PAB 是正三角形，且 平面 ABCD⊥平面 PCD．
（1）若 O 是 CD 的中点，证明：BO⊥PA；
（2）求二面角 B-PA-D 的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可证明；
（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的大小．

解答：（1）证明：∵平面 ABCD⊥平面 PCD，平面 ABCD∩平面 PCD=CD，四边形 ABCD 是矩形．
∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，
在Rt△PDA与在Rt△PBC中，AD=BC，PB=PA，∴PC=PD=

22-12

=

3

．
若 O 是 CD 的中点，OP⊥CD．
OP=

( 3 )2-1

=

2

．
建立如图所示的空间直角坐标系，AB=2BC=2．
则O（0，0，0），B（1，0，1），A（-1，0，1），P（0，

2

，0）．
∴

OB

=(1，0，1)，

PA

=(-1，-

2

，1)．
∴cos＜

OB

，

PA

＞=

OB • PA

| OB | | PA |

=0，
∴

OB

⊥

PA

，∴BO⊥PA．
（2）由（1）可知：

AB

=(2，0，0)．
设平面BPA的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
由

n1 • PA =0 n1 • AB =0

，得

-x1- 2 y1+z1=0 2x1=0

，取y₁=1，则z1=

2

，x₁=0．
∴平面BPA的一个法向量为

n1

=(0，1，

2

)．
取

DA

=(0，0，1)，设平面PAD的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)．
则

n2 • DA =0 n2 • PA =0

，则

z2=0 -x2- 2 y2+z2=0

，取y₂=1，则x2=-

2

，z₂=0．
∴

n2

=(-

2

，1，0)．
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

=

1

3 × 3

=

1

3

．
由图可以看出：二面角 B-PA-D 是一个钝角，故其余弦值为-

1

3

．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角=0证明异面直线垂直；利用两个平面的法向量的夹角得出二面角的方法．