Question

【题目】已知函数.

（1）若在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上为减函数，求实数的取值范围；

（2）当时，若曲线： 在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，求的值或取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1），通过当，当时，求解实数的取值范围；（2）求出切线方程，转化在上有且只有一解．构造函数，求出函数有零点，通过求解导函数，讨论当时，当时，判断函数的单调性，利用函数的零点．推出的范围.

试题解析：（1），即在上有解.

当时显然成立；

当时，由于函数的图象的对称轴，故需且只需，即，解得.故

综上所述，实数的取值范围为.

（2）， ，故切线方程为，即.从而方程在上有且只有一解，

设，则在上有且只有一个零点.

又，故函数有零点，则.

当时， ，又不是常数函数，故在上单调递增，∴函数有且只有一个零点，满足题意.

当时，由得或且，由得或；由得.故当在上变化时， ， 的变化情况如下表：

根据上表知.

又

∴，故在上，函数又有一个零点，不满足题意.

综上所述， .