Question

把一枚骰子投掷两次，第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．
（1）记A为“方程组

ax+by=5 x2+y2=1

只有一组解”求A的概率；
（2）设f(x)=ax+

x

x-1

(x＞1)．求事件f（x）＞b恒成立的概率．

Answer 1

分析：（1）方程组解的个数即为直线ax+by=5与圆x²+y²=1的交点个数，求出直线与圆交点个数，即可求出所求概率；
（2）f（x）解析式变形后，利用基本不等式化简，可得出f（x）＞b恒成立转化为（

a

+1）²＞b恒成立，确定出发生的情况数，即可求出所求概率．

解答：解：（1）依题意知方程组

ax+by=5 x2+y2=1

的解的个数，就是直线ax+by=5与圆x²+y²=1的交点个数，
设圆心O（0，0）到直线ax+by=5的距离为d，则d=

5

a2+b2

，
∵圆的半径为1，
∴当d=1，即a²+b²=25，直线与圆相切，此时方程组只有一组解；
∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}，
∴

a=3 b=4

，或

a=4 b=3

时，a²+b²=25，投掷两次段子a、b的所有情况共有6×6=36种，
则方程组只有一解的概率为P（A）=

2

36

=

1

18

；
（2）∵f（x）=ax+

x-1+1

x-1

=ax+

1

x-1

+1=a（x-1）+

1

x-1

+1-a≥2

a

+1+a=（

a

+1）²（其中a＞1＞0），
∴f（x）＞b恒成立转化为（

a

+1）²＞b恒成立，
∴当a=1时，b=1，2，3；当a=2时，b=1，2，3，4，5；且a≥3时，（

a

+1）²＞6，则b均可取到6个值，
则P（B）=

3+5+4×6

36

=

32

36

=

8

9

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及列举法计算基本事件及事件发生的概率，弄清题意是解本题的关键．