Question

把一枚骰子投掷两次，第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．
（Ⅰ）记事件A为“方程组

ax+by=5 x2+y2=1

只有一组解”，求事件A的概率；
（Ⅱ）记事件B为“方程组

ax+by=5 x2+y2=1

有解”，求事件B的概率．

Answer 1

分析：（I）将方程组

ax+by=5 x2+y2=1

的解的个数转化为直线ax+by=5与圆x²+y²=1的交点个数．利用点到直线的距离公式得到方程只有一组解即

a=3 b=4

，或

a=4 b=3

，利用古典概型的概率公式求出概率．
（II）“方程组

ax+by=5 x2+y2=1

有解”即d=

5

a2+b2

≤1?a2+b2≥25，列出包含的所有基本事件，利用古典概型的概率公式求出概率．

解答：解：（Ⅰ）依题意知，方程组

ax+by=5 x2+y2=1

的解的个数，
就是直线ax+by=5与圆x²+y²=1的交点个数．
设圆心O（0，0）到直线ax+by=5的距离是d，则d=

5

a2+b2

，
∵圆的半径是1，
∴当d=1，即a²+b²=25时，直线与圆相切，此时方程组只有一组解．
∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}，
∴

a=3 b=4

，或

a=4 b=3

时，a²+b²=25，
而投掷两次骰子，a，b所有的情况有36种，
所以方程组只有一组解的概率是P(A)=

2

36

=

1

18

．
（Ⅱ）要使方程组有解，由（Ⅰ）得，d=

5

a2+b2

≤1?a2+b2≥25，
所以a，b有（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），
（6，4），（6，5），（6，6），（3，4），（4，3）共有23种情况．
∴P(B)=

23

36

．

点评：求一个事件的概率问题，应该先判断出事件的所属的概率模型，然后选择合适的概率公式进行计算．