Question

设二次函数的图像过原点，，的导函数为，且，

（1）求函数，的解析式；

（2）求的极小值；

（3）是否存在实常数和，使得和若存在，求出和的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由已知得，

则，从而，

∴,，。

由 得，解得

。……………………4分

（2），

求导数得。在（0,1）单调递减，在（1,+）单调递增，从而的极小值为。……………………8分

（3）因  与有一个公共点（1,1）,而函数在点（1,1）的切线方程为。下面验证都成立即可。

由 ，得，知恒成立。

设，即 ，

求导数得，

在（0,1）上单调递增，在上单调递减，所以 的最大值为，所以恒成立。

故存在这样的实常数和，且。……………………13分