Question

11．已知正数x，y满足x+y=4，求（x+$\frac{1}{x}$）²+（y+$\frac{1}{y}$）²的最小值．

Answer 1

分析 利用a²+b²≥$\frac{{（a+b）}^{2}}{2}$，求出代数式（x+$\frac{1}{x}$）²+（y+$\frac{1}{y}$）²的最小值．

解答 解：∵a²+b²≥2ab，
∴2（a²+b²）≥a²+b²+2ab=（a+b）²，
∴a²+b²≥$\frac{{（a+b）}^{2}}{2}$，当且仅当a=b时“=”成立；
∴${（x+\frac{1}{x}）}^{2}$+${（y+\frac{1}{y}）}^{2}$≥$\frac{1}{2}$${（x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}）}^{2}$
=$\frac{1}{2}$${（4+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）}^{2}$
=$\frac{1}{2}$${（4+\frac{x+y}{xy}）}^{2}$
=$\frac{1}{2}$${（4+\frac{4}{xy}）}^{2}$
=8${（1+\frac{1}{xy}）}^{2}$；
又x+y=4，∴xy≤${（\frac{x+y}{2}）}^{2}$=4，
即当x=y=2时，xy取得最大值4；
∴${（x+\frac{1}{x}）}^{2}$+${（y+\frac{1}{y}）}^{2}$≥8×${（1+\frac{1}{4}）}^{2}$=$\frac{25}{2}$，
即（x+$\frac{1}{x}$）²+（y+$\frac{1}{y}$）²的最小值是$\frac{25}{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的灵活应用问题，是综合性题目．