Question

19．已知函数f（x）=$\frac{ax-1}{x+1}$（a∈R，a≠-1），
（1）当a=2时，判断f（x）在（-1，+∞）上的单调性并证明；
（2）求函数y=f（x）的图象对称中心；
（3）如果函数f（x）＞2在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，利用函数单调性的定义即可判断f（x）在（-1，+∞）上的单调性并证明；
（2）根据分式函数的性质，利用分子常数化，即可求函数y=f（x）的图象对称中心；
（3）利用参数分离法，进行求解即可．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$=$\frac{2（x+1）-3}{x+1}$=2-$\frac{3}{x+1}$，则f（x）在（-1，+∞）上的单调递增，
设-1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2-$\frac{3}{{x}_{1}+1}$-2+$\frac{3}{{x}_{2}+1}$=-$\frac{3（{x}_{2}+1）-3（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=-$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
∵-1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
x₁+1＞0，x₂+1＞0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在（-1，+∞）上的单调递增；
（2）f（x）=$\frac{ax-1}{x+1}$=$\frac{a（x+1）-1-a}{x+1}$=a-$\frac{a+1}{x+1}$，
即函数y=f（x）的图象对称中心为（-1，a）；
（3）如果函数f（x）＞2在x∈[1，2]上恒成立，
即$\frac{ax-1}{x+1}$＞2在x∈[1，2]上恒成立，
即ax-1＞2x+2，
即ax＞2x+3，
即a＞2+$\frac{3}{x}$，
当x∈[1，2]时，y=2+$\frac{3}{x}$为减函数，
∴当x=1时，函数y=2+$\frac{3}{x}$取得最大值，此时y=2+3=5，
即a＞5，
故实数a的取值范围是（5，+∞）．

点评 本题主要考查函数的单调性的判断，以及不等式恒成立的应用，利用参数分类法结合分式函数的性质是解决本题的关键．