Question

四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（    ）

A.150种    　　    B.147种    　　　　 C.144种       D.141种

Answer 1

答案：D
提示：

解法一：10个点任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任意4点都共面，从这6点中任取4点有种，同理在其余3个面内也有种，又每条棱与相对棱中点共面有6种，各棱中点中4点共面的有3种，故10个点中取4点，不共面的取法共有＝141种. 解法二：四面体记之为A—BCD，设平面BCD为α，那么从10个点中取4个不共面的点的情况共有四类：（1）恰有3个点在α上，有4（）＝68种取法；（2）恰有2个点在α上，可分两种情况：该2个点在四面体的同一条棱上时有3＝27种，该2个点不在同一条棱上，有（）·（－1）＝30种；（3）恰有1个点在α上，可分两种情况，该点是棱的中点时有3×3＝9种，该点是棱的端点时有3×2＝6种；（4）4个点全不在α上，只有1种取法.根据分类计数原理得，不同的取法共有68＋27＋30＋9＋6＋1＝141种．